מרחבי $R^2,R^3$:

• המישור $R^2$: נקרא לאיברים במרחב וקטורים או זוגות סדורים.

• המרחב $R^3$: נקרא לאיברים במרחב וקטורים.

• פעולות במימדים:

  • חיבור (וגם חיסור):
  • $(a_1,b_1,c_1)+(a_2,b_2,c_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2)$
  • כפל בסקלר:
  • $\alpha \ast (a_1,b_1,c_1)=(\alpha a_1,\alpha b_1,\alpha c_1)$

• וקטורים מיוחדים:

  • וקטור האפס: $(0,0,0)\to \overrightarrow{0}or\underset{―}{0}$
  • הוקטורים של הבסיס הסטנדרטי של $R^2,R^3$:
    • המישור $R^2$:
      • $(1,0)\to \overrightarrow{i}or\hat{i}$
      • $(0,1)\to \overrightarrow{j}or\hat{j}$
    • המרחב $R^3$:
      • $(1,0,0)\to \overrightarrow{i}or\hat{i}$
      • $(0,1,0)\to \overrightarrow{j}or\hat{j}$
      • $(0,0,1)\to \overrightarrow{k}or\hat{k}$

• צורת כתיבה:

  • כל וקטור ב $R^3$ נוכל לרשום כ: $a\ast i+b\ast j+c\ast k$

• וקטורים שווים:

  • זוג וקטורים שווים אם"ם כל רכיב בוקטור הראשון שווה לרכיב שלו בוקטור השני.

• וקטורים קו לינארים:

  • זוג וקטורים הם קו לינארים (נסמן על ידי $\overrightarrow{u}||\overrightarrow{w}$) אם קיים סקלאר עבורו ניתן להציג את אחד הוקטורים כמכפלה סקלארית של השני.
  • ניתן להגיד "שווים עד כדי כפל בסקלאר".
  • לדוגמא:
    • (1,2,1) ו- (2-,4-,2-) הם קולינארים.
    • וקטור האפס קולינארי עם כל וקטור.

• משמעות גאומטרית של וקטורים והפעולות עליהם:

  • ניתן לחשוב על (a,b,c) כיוצא מ- (0,0,0) ומגיע ל- (a,b,c)
  • אם A ו- B שני וקטורים אז נסמן את הוקטור מ-A ל-B כ- $\overrightarrow{AB}$
  • באופן מפורש (סוף פחות התחלה):
  • $A(a_1,b_1,c_1),B(a_2,b_2,c_2)\to \overrightarrow{AB}=(a_2-a_1,b_2-b_1,c_2-c_1)$
  • 
  • לחיבור וקטורים וכפל בסקלר יש משמעות גאומטרית:
    • חיבור וקטורים:
      • נשרשר את הוקטורים
    • כפל בסקלאר:
      • הכפלנו במינוס: הפכנו את הכיוון של הוקטור. אם הכפלנו את AB במינוס נקבל את BA
      • נכפיל בסקלאר קטן מאחד: קיווצנו את הוקטור
      • נכפיל בסקלאר גדול מאחד: מתחנו את הוקטור

• מכפלה סקלארית (dot product):

  • $\overrightarrow{v}=(a_1,b_1,c_1),\overrightarrow{w}=(a_2,b_2,c_2)\to \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}=(a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2)$
  • לדוגמא $(2,2,1)\cdot (-1,-3,4)=-4$
  • לא ניתן לבצע מכפלה סקלארית בין וקטורים ממימדים שונים
  • תכונות של מכפלה סקלארית:
  1. $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}=\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u}$
  2. $(c\ast \overrightarrow{u})\cdot \overrightarrow{w}=c\ast (\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}\cdot (c\ast \overrightarrow{w})$
  3. $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}$
  4. $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}\ge 0$
     1. $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}=0\leftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

• נורמה של הוקטור:

  • האורך של הוקטור
  • נסמן בתור $||\overrightarrow{u}||$
  • נגזר מתוך התכונה הרביעית של מכפלה סקלארית:
  • $\overrightarrow{u}=(a,b,c)\to \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}=a^2+b^2+c^2$
  • $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

• זווית בין שני וקטורים:

  • בהינתן שני וקטורים (שונים מוקטור האפס) באחד מהמרחבים, ונקרא לזווית ביניהם $\theta$ , נוכל לחשב את קוסינוס הזווית על ידי:

  • $\cos (\theta )=\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{u}||\ast ||\overrightarrow{v}||}$

  • הוכחה:

    1. ע"פ משפט הקוסינוסים: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos (\theta )$
    2. ממשפט הקוסינוסים:
    3. $\parallel \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}{\parallel }^2=\parallel \overrightarrow{u}{\parallel }^2+\parallel \overrightarrow{v}{\parallel }^2-2\parallel \overrightarrow{u}\parallel \parallel \overrightarrow{v}\parallel \cos (\theta )$
    4. נזכור שנורמה בריבוע זה הוקטור עצמו.
    5. $(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})\cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}-2\ast ||u||\ast ||v||\ast \cos (\theta )$
    6. נצמצם, נעביר אגפים, ונקבל את קוסינוס הזווית.

  • מקרה מיוחד של זווית בין וקטורים:

    • כאשר $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}=0$ המשמעות היא שהוקטורים מאונכים אחד לשני.
    • זאת מכיוון שקוסינוס הזווית יהיה שווה ל-0 כאשר הזווית היא 90 מעלות.
    • וקטורים מאונכים נקראים גם אורתוגונלים.

• מכפלה וקטורית (cross product):

  • אם $\overrightarrow{v}=(a_1,b_1,c_1)\overrightarrow{w}=(a_2,b_2,c_2)$ אז נגדיר את המכפלה הוקטורית $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}$ על ידי:

  • $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}=det\left(\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\end{array}\right)$

  • כאשר חישוב הדטרמיננטה נעשה בעזרת הכללים:

    • פיתוח לפי עמודה / שורה
    • פעולות אלמנטריות

  • לדוגמא את המכפלה הנ"ל ניתן לכתוב גם כ:

  • $\hat{i}(b_1{c}_2-c_1{b}_2)-\hat{j}(a_1{b}_2-c_1{a}_2)+\hat{k}(a_1{b}_2-b_1{a}_2)$

  • $(b_1{c}_2-c_1{b}_2,c_1{a}_2-a_1{c}_2,a_1{b}_2-b_1{a}_2)$

  • תכונות:

    • לכל $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ ב - $R^3$ מתקיים ש:
    1. $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}=-(\overrightarrow{w}\times \overrightarrow{v})$
    2. $(\alpha \overrightarrow{v})\times \overrightarrow{w}=\alpha (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w})$
    3. $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\times \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}$
    4. $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{u}=0$

  • המשמעות הגאומטרית:

    1. האורך של $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}$ נתון על ידי $\parallel \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}\parallel$ שהוא גם השטח של המקבילית שנוצרת על ידי שני הוקטורים. (וניתן גם למצוא כך שטח משולש על ידי חילוק התוצאה ב-2)
    2. הנוסחא עבור השטח היא: $\parallel \overrightarrow{v}\parallel \cdot \parallel \overrightarrow{w}\parallel \ast \sin (\theta )$
    3. הוקטור $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}$ מאונך ל $\overrightarrow{v}$ וגם ל $\overrightarrow{w}$ .
    4. הכיוון של $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}$ נקבע לי כלל יד ימין.

• מכפלה מעורבת:

  • לכל $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ ב - $R^3$ נגדיר את המכפלה המעורבת על ידי:
  • $\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w})=det\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{u_x}& \overrightarrow{u_y}& \overrightarrow{u_x}\\ \overrightarrow{v_x}& \overrightarrow{v_y}& \overrightarrow{v_z}\\ \overrightarrow{w_x}& \overrightarrow{w_y}& \overrightarrow{w_z}\end{array}\right)$
  • משמעות גאומטרית:
    • התוצאה של $\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w})$ שווה לנפח המקבילון (מקבילית תלת מימדים) שנוצר על ידי שלושת הוקטורים.
    • פרמידה משולשת שווה לשישית מנפח המקבילון
    • מקרה פרטי $\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w})=0$:
      • כאשר שלושת הוקטורים נמצאים על אותו מישור שיוצא מהראשית
      • כאשר שלושת הוקטורים תלויים לינארית
      • במקרה זה נוכל להגיד עליהם כי הם קו-פלנארים

תובנות מהתרגול:

• וקטור היחידה:

  • נסמן על ידי $\hat{\overrightarrow{v}}$

  • וקטור שהאורך שלו הוא 1

  • הביטוי "מציאת וקטור היחידה" זהה ל "נרמול הוקטור"

  • לדוגמא:

    • $\overrightarrow{a}=(3,4)\to \parallel \overrightarrow{a}\parallel =\sqrt{3^2+4^2}=5\to \hat{\overrightarrow{a}}=(\frac{\overrightarrow{a_x}}{\parallel \overrightarrow{a}\parallel },\frac{\overrightarrow{a_y}}{\parallel \overrightarrow{a}\parallel })=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$

  • חיסור וקטורים:

    • כדי לבדוק שבחרנו את הכיוון הנכון עבור החיסור, נוכל לחבר את הוקטור שקיבלנו מהחיסור ועוד וקטור ההתחלה ולראות אם קיבלנו את וקטור הסוף.
    • לדוגמא:
    • $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$
    • $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{b}$

• היטל:

  • היטל של נקודה על ישר:
    • היא הנקודה שנוצרת על הישר על ידי מתיחת אנך ממנו אל הנקודה המטילה.
  • היטל של וקטור על ישר:
    • הוא הוקטור שנוצר משתי הנקודות שנוצרות על הישר על ידי מתיחת אנך ממנו אל נקודת ההתחלה והסוף של הוקטור המטיל.
  • היטל של וקטור על וקטור:
    • עובד בצורה דומה להיטל של וקטור על ישר, רק שכאן מותחים אנך מהוקטור שעליו מטילים.
    • אם שני הוקטורים יוצאים מאותה נקודה אפשר להשתמש באנך אחד.
    • ההיטל יכול להיות קטע או וקטור:
      • נוסחא להיטל של a על b כקטע: $\frac{\overrightarrow{a}\ast \overrightarrow{b}}{\parallel \overrightarrow{b}\parallel }$
      • נוסחא להיטל של a על b כוקטור: $\frac{\overrightarrow{a}\ast \overrightarrow{b}}{\parallel \overrightarrow{b}\parallel }\ast \hat{\overrightarrow{b}}$